Keller, elementar-geometrisches Problem. 295 



sind die Ecken eines vollständigen Vierseits, 

 dessen eine Seite im Unendlichen liegt. Da in dem 

 Dreieck AA^B der Punkt T33 die Mitte der Seite AA^ 

 ist, so ist auch der Punkt T^^ die Mitte der Strecke 

 T23I; analog T^^ die Mitte der Strecke T232; daraus 

 folgt: Die Dreiecksseite jB (7 ist die Polare des Punktes T^^ 

 in Bezug auf die Hyperbel H^ ; ebenso sind CA und AB 

 die Polaren der Punkte T3 1 , T^^ bezüglich der Hyperbeln 

 H2 resp. i/3 ; die Tangenten von Tg 3, T31, T^<^ aus resp. 

 an H^, J?2J H-d berühren diese daher in ihren Schnitt- 

 punkten mit den resp. Dreiecksseiten. Die Sehne T-^^ T13 

 wird durch die Mittellinie AA^ halbirt; daraus folgt, 

 dass die Letztere die Polare ist des unendlich fernen 

 Punktes TJ3 in Bezug auf die Hyperbel H^\ in gleicher 

 Weise sind BB^ und CC^ die Polaren von Tg'^, Tfa be- 

 züglich K^ resp. H^. Hieraus ergibt sich, dass die Tan- 

 genten der Hyperbeln in den Schnittpunkten S^, -S'i*; 

 ^S'a, ^2*5 *%» ^z^^ ii^it den Mittellinien den Dreiecksseiten 

 resp. parallel sind; diese Eigenschaft folgt auch unmittel- 

 bar aus dem Satze, dass der Berührungspunkt einer Hy- 

 perbeltaugente die Mitte der Strecke zwischen den Asymp- 

 toten ist. Fassen wir die zuletzt entwickelten Eigen- 

 schaften zusammen, so folgt: Die Ecken A, B, C bil- 

 den mit dem Schwerpunkte des Dreiecks ein voll- 

 ständiges Viereck, dessen Seiten die Polaren der 

 gemeinschaftlichen Berührungspunkte der Hy- 

 perbeln sind. — Aus dem Vorigen ergibt sich, dass 

 die zwei Schnittpunkte eines jeden der Hyperbeläste ITj, 

 H^, H^ mit der entsprechenden Seite des gegebenen 

 Dreiecks von den Ecken gleichen Abstand haben; sie 

 selbst können gefunden werden als die Doppelpunkte der 

 Involutionen harmonischer Pole, die auf den Dreiecksseiten 



