Keller, elementar-geometrisches Problem. 297 



3 H}i)erbeln. Allerdings können davon 2 imaginär wer- 

 den, was passirt, w^enn P im Innern einer Hyperbel liegt; 

 für den in Fig. 4 schraffirten Theil der Ebene als Orts- 

 lage von P werden alle 6 Lösungen reell; es können 

 jedoch Lösungen zusammenfallen, was stattfindet, wenn 

 P auf einer der 6 gemeinsamen Tangenten oder auf einer 

 der Hyperbeln liegt. Endlich hat mau noch zu unter- 

 scheiden zwischen eigentlichen und uneigentlichen 

 Lösungen; eigentlich nenne ich die Lösung dann, wenn 

 die Schnittpunkte der Transversalen mit den Asymptoten 

 der betreffenden Hyperbel innerhalb der begrenzten Drei- 

 ecksseiten fallen ; uneigentlich, wenn der eine oder beide 

 Schnittpunkte auf die Verlängerungen kommen. Es ist 

 leicht zu sehen, wie viele eigentliche und uneigentliche 

 Lösungen einer gegebenen Lage von P zukommen; be- 

 findet sich z. B. P in dem kleinen Gebiete, begrenzt von 

 den Hyperbelbogen T,^ T,^, T,^ T^^^ T^z T.^. so ent- 

 sprechen ihm im Allgemeinen 3 eigentliche und 3 un- 

 eigentliche Lösungen ; liegt P auf diesen Hyperbelbogen 

 selbst, so kommen ihm 2 eigentliche und 3 uneigentliche 

 Lösungen zu; jede andere Lage von Perfreut sich ausser 

 uneigentlichen und ev. imaginären Lösungen nur einer 

 einzigen eigentlichen Lösung. 



Durch die interessante Fig. 4 wird man auf ein all- 

 gemeineres System von sich doppelt berührenden 

 Kegelschnitten hingeleitet. Sind nämlich Ä'^ und A'j, 

 (Fig. 5) 2 Kegelschnitte, die sich in T^,, ^ind Tfa berühren, 

 so besitzen sie unendlich viele gemeinsame Tripel har- 

 monischer Pole und Polaren ; alle haben die Ecke C^ und 

 die Seite T^^ T*^ gemeinsam. Sei nun CiPi^L^ ein ganz 

 bestimmtes dieser Tripel, so gibt es einen und nur einen 

 Kegelschnitt Ä'3, der sowohl Ki als auch K^ doppelt 



