132 E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 



Schon lange beanspruchten neben den gewöhnlichen 



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Modulargleichungen zwischen KT, KT die sogenannten 

 Modidargleichiingen in irrationaler Form ein besonderes 

 Interesse dadurch, dass dieselben Umformungen der erste- 

 ren mittelst der Relationen %^-\-'7i'^= 1, A^-|-A'^= 1 

 oft in ausserordentlich einfacher Gestalt darstellen. Alt 

 bekannte vereinzelte Fälle sind die berühmte Legendre'- 

 sche und die Gützl äff sehe Gleichung. Eine grössere 

 Zahl von Beispielen leitete dann Herr Schröter*) aus 

 einer allgemeinen Formel für das Product zweier ö-Func- 

 tionen her. Doch ist diese rein rechnerische Methode 

 insofern theoretisch unzureichend, als sie nicht aus dem 

 Wesen dieser Gleichungen entspringt, daher auch kei- 

 nen Einblick in die notwendige algebraische Structur 

 ihrer, oft in zufälliger Form erscheinenden, Resultate 

 gewährt. 



Man wird so vor allem auf das Studium derjenigen 

 Correspondenzen geführt, welche zwischen dem Modul- 



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;paar Y-a , Y-n' und dem durch Transformation entstehenden 



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KT, Yv , sowie zwischen den Quadraten dieser Moduln 

 bestehen. Im allgemeinen definirt aber, wie man sich 

 leicht überzeugt, eine Gleichung zwischen diesen Modul- 

 paaren, zusammen mit obigen Relationen, ausser den- 



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jenigen Wurzelpaaren Ka , Yv^ welche aus dem Trans- 

 formationsproblem entspringen, noch gewiss( fremde, d. h. 

 in der gewöhnlichen Modulargleichung nie. r enthaltene, 

 Wurzelpaare. Algelraisch zeichnen sich also diejenigen 

 Fälle aus, in denen die irrationale Modulargleichung , zu- 

 sammen mit den Relationen, das genaue Äequivalent der 



^) De aequationibus modularibus, Regiom. 1854. 



