136 E- Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 



Als eindeutige analytische Functionen des Argumentes 

 a gehören die so definirten q){(o)^ i/^((ö) zu den elliptischen 

 Modulf iinctio7ien, deren Theorie von ihrem Verhalten bei 

 den linearen (o- Substitutionen ausgeht. 



Linear heisst die Substitution 



CO- = S{o) = "^ oder kurz -?=(''«), 6) 



wenn «, ß, y, d ganze Zahlen sind von der Determinante 



a8 — ^y=\. 7) 



Nach bekannter Terminologie bilden die linearen Sub- 

 stitutionen S eine Gruppe (S), deren -erzeugende Substi- 

 tutionen sind 



S(co)=a3+l, T(«) = =i; 8) 



durch Wiederholungen und Zusammensetzungen von S 

 und T entstehen also sämmtliche Substitutionen S, wobei 

 in dem symbolischen Product *S'i S2 . - . Sk (o) die Opera- 

 tionen in der Reihenfolge von links nach rechts an o vor- 

 zunehmen sind. 



Durch die Eigenschaft, bei den linearen oj-Substitu- 

 tionen ungeändert zu bleiben, ist die absolute Invariante 

 J{co) des Integrals erster Gattung ausgezeichnet. Umge- 

 kehrt heissen alle zu demselben Wert von J gehörigen 

 Argumente vermöge linearer Substitutionen äquivalent. 



Die Aenderungen der Hermite'schen Functionen bei 

 den Erzeugenden S und T folgen unmittelbar aus der 

 Definition als 



