E. Fiedler, Irrationale Modiilargleichungen. 147 



Gruppe die Gruppe (T, T') enthält, jeden Wert nur an 

 einer endlichen Anzahl von Stellen annehmen. So nimmt 

 einerseits J einen gegebenen, von 0, 1, co verschiedenen, 

 Wert an 384 äquivalenten Stellen an, anderseits aber 

 gehört zu jedem Wertepaar g), t im Polygon nur ein 

 einziger Punkt. Die Function (p erlangt zwar einen vor- 

 gegebenen Wert noch in 8 Dreiecken, ebenso 1^, aber 

 beide Reihen von 8 Dreiecken haben nur eines gemeinsam, 

 wie man leicht verificirt [vgl. 12) und 13)]. 



Da so durch Simultanstellung von cp und il^ jede Stelle 

 des Polygons eindeutig bestimmt ist, so bilden nach der 

 Klein'schen Bezeichnung cp, xp ein volles System von zu der 

 ausgezeichneten Üntergrup2)e (T, V) gehörigen 2Ioduln. Sie 

 heissen auch selbst ausgezeichnete Moduln und sind ins- 

 besondere solche, welche bei den linearen w-Substitutionen 

 nicht nur rationale, sondern ebenfalls lineare Transforma- 

 tionen erfahren. Ebenso bilden 9^1/^^ ein volles System 

 ausgezeichneter Moduln 8. Stufe. 



Diese besondere Eigenschaft empfiehlt unmittelbar den 

 Uebergang zu geometrischer Deutung. Statt cp, t als zu 

 der Riemann'schen Fläche des § 3 gehörige Functionen zu 

 betrachten, interpretiren wir sie als Coordinaten der ebenen 

 Curve 2). Die Funkte der Curve erscheinen dann durch 

 ihre Parameter a eindeutig auf die Stellen des Funda- 

 mentalpolggons bezogen, und umgekehrt. Die relativ in- 

 äquivalenten cö- Substitutionen W^ ergeben gebrochene, 

 lineare Transformationen des Modulsystems, oder homo- 

 gene, lineare Coordinatentransformationen. Also erzeugt 

 die Gruppe G eine Gruiope F von Collineationen Wk, tvelche 

 die Curve in sicli selbst überführen. Und zwar sind die 

 Gruppen G und F holoedrisch isomoriiiii aufeinander be- 

 zogen. 



