E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 157 



Eine dazu nützliche Anschauung ist es, jeder Transfor- 

 mationszahl Ri{o) ein Dreieck Pi{(o) der 09- Halbebene 



1 Ä 



derart zuzuordnen, dass/iP.(oj) = n ^' . '^ mit Rtio) [6)] 



' äquivalent ist; dies erfordert nur 



a, ßi = 6, a. mod. n . 16) 



Dann folgt '^) für die Aeqnivalenz zweier Transformation s- 

 zahlen Bi = nP,, R'i = nP'i = nPi{P'i), aus der Identität 



^^ a. + ß'. CO ~ a'. -\-\ ß'.' 71C0 ' 17) 



n 



als notwendige und hinreicliende Bedingung die, dass PI 

 eine Siihstitiition der Gru])2)e sei 



ß; = Omod. H. 18) 



Gehört nun P] dieser Gruppe 18) an, so kann die 

 Gleichung 



P,(P:) = P(P;) 19) 



derart erfüllt werden, dass sie für alle Repräsentanten 

 und dasselbe P gilt. Man findet als notwendige und hin- 

 reichende Bedingung, dass 



also, dass Peine Substitution der Congraenzgru'ppe n. Stufe 

 sei. Derselben entspricht wieder ein Fundamentalpolygon, 

 dessen Dreiecke alle modulo n verschiedenen Substitutionen 

 vertreten (vgl. § 2), resp. eine Riemann'sche Fläche n. Stufe 

 (§ 3).**) 



*) Hurwitz, Grundlagen. Math. Ann. XVIII p. 567, 575. 

 **) Für die Simultanstellung der Flächen 16. und ti. Stufe 

 vgl. § 7. 



