E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 159 



Die Moclularcorresijondenz hat keine singulären Funkte^ 

 welchen unendlich viele Punkte der andern Schaar zuge- 

 ordnet wären, da für keinen speciellen Wert von co die 

 transformirten a unbestimmt werden können und den Para- 

 metern die Punkte eindeutig entsprechen. Also besitzen 

 auch die transformirten Moduln cp, i^ auf der zu 9, 1/^ ge- 

 hörigen Riemann'schen Fläche keinen wesentlich singu- 

 lären Punkt. 



Dies folgt auch direct aus der Betrachtung dieser 

 Fläche (vgl. § 3). Nach I. 3) können die Functionen 9, t 

 nur für rationale w-Werte, w^obei aber « = ^00 mitgerechnet 

 sei, oder 00 werden; rationalen w entsprechen aber 

 wieder rationale C3. Wesentliche Singularitäten könnten 

 überhaupt nur in diesen Punkten liegen. Denn für alle 

 nicht rationalen Punkte coq der Fläche ist es klar, dass 

 sowol (5p, 4^ als 9, tl^ endliche Werte mit endlicher Ordnungs- 

 zahl annehmen, da dort w — coq als unendlich klein der 

 ersten Ordnung zu rechnen ist. Nun entspricht aber einer 

 einmaligen Umkreisung eines rationalen Punktes auf der 

 Fläche, z. B. von i co , in der w- Ebene überliaupt kein 

 geschlossener Weg, wol aber eine einmalige Umkreisung 



des Punktes q == in der Ebene, auf welche die Ü3-Ebene 



1 



durch die Function q abgebildet wird. Demnach ist in 



1 



~^ 

 der Nähe des Punktes i 00 auf der Fläche die Grösse q 



als unendlich klein erster Ordnung zu betrachten. In der 



Umgebung derselben gelten die Reihenentwickelungen 



1 1 8 1 1 ^ a'"" 8 A 



— = ~:=q ... , -^ = -^= e q •••, 21) 



d. h. — wird einfach und -=- von der Ordnung —r- un- 

 <p (p ^'J- 



