160 E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 



endlich, so dass ^=- dort zugleich einen Verzweigungspunkt 



besitzen kann. Diese Betrachtungen übertragen sich auf 

 jeden andern Eckpunkt, denn in der Umgebung von 



« = — -^ ist statt nach e nach Potenzen von e 



zu entwickeln.*) So kann man verificiren, dass auch in 



den Eckpunkten die Ordnungszahlen endlich bleiben. 



Somit hestehen zwischen 9, ip und g), i/' algebraische 

 Relationen, die man folgendermassen bilden kann. Be- 

 deutet ti eine Unbestimmte, über deren Wert wir zunächst 

 nicht verfügen , so nimmt die lineare Function cp -}-2i^ 

 an den N zu einem gegebenen Wertepaar 9, 7p gehörigen 

 Stellen 9, ^ der Fläche N W^erte an. Eine symmetrische 

 Function dieser Werte ist für jedes u eine eindeutige Func- 

 tion auf der Fläche 9, 1^, w^elche auf ihr ebensowenig wie 

 (p, ^ wesentliche Singularitäten besitzt. Daraus folgert 

 die Theorie der algebraischen Functionen, dass die Coef- 

 ficienten der Potenzen von it rationale Functionen von 

 9, t sind. Also sind cp-^nip Wurzeln einer algebraischen 

 Gleichung, deren Coefficienten rationale Functionen von 

 M, cp, tp sind, oder es bestehen algebraische Gleichungen 

 f{cp-^uip; q),xlj) — 0. Jede solche Gleichung bestimmt, 

 geometrisch gesprochen, ein System von iV parallelen Ge- 

 raden durch die Punkte cp, ^ der Curve I 2). Durch par- 

 tielle Elimination kann man auch allgemeinere Gleichungen 



f{^,r. ^.n^) = o 22) 



herstellen , de ren Grad in (p, ip sehr wol kleiner als N 

 gemacht werden kann. Indessen bleibt die Frage offen, 



*) Hurwitz, Ann. XXV p. 69. 



