E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. \Q\ 



welche Anzahl und Comhination dieser Gleichungen zu neh- 

 men ist, um die N Wiirzelpaare (p, i^» zu hestimmeu. Es 

 genügt auch algebraisch, sich auf die Gleichungen eines 

 solchen Systems zu beschränken. / 



Die Correspondenz des n. Transformationsgrades be- 

 sitzt eine 2Ionodromiegruppe, welche als die Gesammtheit 

 derjenigen Permutationen der Wurzelpaare cp, xl^ definirt 

 ist, die folgendermassen entstehen : Man lasse cp, ip von 

 einer Stelle aus, zu der lauter endliche und verschiedene 

 (fk, tk gehören, auf der Riemann'schen Fläche alle geschlos- 

 senen' AVege beschreiben, auf denen kein Verzweigungs- 

 punkt liegt, und verfolge, wie auf jedem derselben jedes 

 der N Wurzelpaare g?^., ^^r stetig und eindeutig in sich 

 selbst oder ein anderes tibergeht. Nun gehören solche 

 geschlossene Wege einerseits zu den Substitutionen der 

 erweiterten Congruenzgruppe 16. Stufe. Anderseits führt 

 eine lineare Substitution P nur dann sämmtliche Classen 

 von Transformationszahlen in sich selbst über, wenn die 

 Bedingung 19) erfüllt ist, d. h. wenn P auch auf der 

 Riemann'schen Fläche n. Stufe 20) einen geschlossenen 

 Weg erzeugt. Da nun beide Forderungen nach dem mehr- 

 fach gebrauchten Princip vereinbar sind, so ist die Mono- 

 dromiegruppe der ModuUircorrespondenz holoedrisch iso- 

 morplt zu der Oesammtheit der modulo n incongruenten 

 Substitutionen 



P=(^J)mod.n [ad-ßy~l), 23) 



so dass die Permutationen der Wurzelpaare durch die- 

 jenigen P erzeugt werden*), welche zugleich der Gruppe 

 {T,V) angehören: P^ 1, V mod. 16. 



Man beweist dann noch in gewohnter Weise, dass 



*) Vgl. Hurwitz, 1. c. Math. Ann. XVIII p. 574. 



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