174 E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 



Um die Integrale in solche des complexen Argu- 

 mentes o oder q umzusetzen, schreiben wir — unter ein- 

 deutiger Bestimmung der Wurzeln nach 15) — für I 27) 



Dann leitet man zur Umrechnung des Differentials div 

 aus den Jacobi'schen Formeln (Werke II p. 178) leicht 

 die Relationen ab 



^ _ J^ ^4 ^ d^ _—l . dq 



cp ~ 8 ^' q ' T/,~8^^Y 



7) 



aus denen sich nach einfacher Umsetzung ergibt 



dtv = ^Y^[^r=l^]/se^e,e^ da. 8) 



Die Integrale erhalten die Gestalt 



^ J icc 



und sind damit als eindeutige Functionen von 6 dargestellt, 

 da die Wurzelzeichen so zu wählen sind, dass 



i'^ß^(.)=s.tlf^^2~.i~nr nß mm 10) 



Nun kann man aber auch mittelst der Landen' sehen 

 Transformation 9, ^ als rationale Quotienten von ö -Werten 

 Constanten Argumentes darstellen, und gleichzeitig gelingt 

 es, die in 9) auftretenden Wurzeln aus e-Producten in 

 Producte je eines transformirten 62,^0 ^^^'^ ^3 ^^^^^ eines 

 transformirten e[ zu verivandeln. Aus den Gleichungen 

 zwischen den ö- Functionen der Parameter co und 2co 



erhält man*) für die speciellen Argumente und -^ 

 *) Weber, Zur Th. d. elliptischen Funct. Acta Math. VI p. 336. 



