176 E. Fiedler, Irrationale Modulargleichiingen. 



Insbesondere zeichnen sich die Integrale der I. Gruppe 

 dadurch aus, dass sie keine transformirten e enthalten, 

 und sie characterisiren sich so als die drei unabhängigen 

 Integrale auf der Curve 4. Ordnung jp = 3 [I 27)], wie 

 auch eine einfache directe Ueberlegung zeigt. 



§ 11- 

 Periodicität und lineare Transformation der Integrale.*) 



Die Integrale sind als Functionen des Ortes auf der 

 Riemann'schen Fläche p = 2\ unendlich- vieldeutig. Jede 

 solche Function ändert im allgemeinen ihren Wert, wenn 

 man sie zur Ausgangsstelle längs eines geschlossenen Weges 

 zurückführt, der weder auf der Fläche in einen Punkt 

 zusammengezogen werden kann, noch Verzweigungspunkte 

 der Function umschliesst. Durchläuft aber co in seiner 

 Halbebene beliebige geschlossene Wege, so sind die ent- 

 sprechenden Wege auf der Fläche offenbar stets in Punkte 

 zusammenziehbar. Daher ist jede zur Fläche geliörige 

 Function von co, welche auf derselben keine Verziueigungs- 

 punkte besitzt, also insbesondere jedes zugehörige idjerall 

 endliche Integral, notivendig eine eindeutige Functioyi von co. 



Auch den Wegen zwischen relativ äquivalenten Punk- 

 ten CO, co' der Halbebene entsprechen auf der Fläche ge- 

 schlossene Wege. Diese lassen sich wiederum auf Punkte 

 zusammenziehen, wenn die zwischen ca, a' vermittelnde 

 Substitution der erweiterten Congruenzgruppe parabolisch 

 oder elliptisch ist, denn eine solche bewirkt im wesent- 

 lichen nur eine Drehung der Halbebene um je einen fest- 

 bleibenden Punkt derselben (p. 140). Bei diesen Substi- 



*) Vgl. Hur Witz, Classenzahlrelationen Ann. XXV p. 170, 188. 



