E. Fiedler, Irrationale Modulargleiclningen. 177 



tutionen ändern sich also die Integrale wiederum nicht, 

 dagegen ändern sie sich bei den hyperbolischen Substi- 

 tutionen, welchen nicht-zusammenziehbare Wege entspre- 

 chen, um additive Constanten, weil die Differentiale in- 

 variant sind. Umgekehrt 'können die Integrale erster Gat- 

 tung auf der Fläche y ^=2\ geradezu definirt luerden als 

 die eindeutigen, überall endlichen Functionen von o, ivelche 

 der Functionalgleichung genügen [T beliebige Substitution 

 der Gruppe (T,V)] 



laßy {T(co)) = I,ßy (CO) + Plf^l^ . 1 5) 



Damit erfährt der Begriff der Modulfunctionen eine natur- 

 gemässe Erweiterung, wie sie zuerst Herr Hurwitz in 

 den citirten Abhandlungen gab. 



Verwandelt man die Fläche durch ein System von 

 Querschnitten in einen Fundamentalbereich (p. 143), z. B. 

 das symmetrische Polygon der Figur, so ist jedes Integral 

 innerhalb desselben eine eindeutige Function des Ortes, 

 erleidet aber beim üeberschreiten jeder Schnittstrecke 

 eine Aenderung um eine zugehörige Periode. Es gibt nun 

 insbesondere Systeme von 2p Rückkehrschnitten und Quer- 

 schnitten, welchen 2j; unabhängige Perioden jedes Inte- 

 grals zugehören, durch deren lineare ganzzahlige Com- 

 binationen die allgemeinsten Perioden derselben darstellbar 

 sind. Legen wir also die schon p. 146 postulirte Anord- 

 nung des Fundamentalpolygons zu Grunde, so sind zufolge 

 der Definition der erzeugenden Substitutionen die Ver- 

 bindungslinien zusammengehöriger Randpunkte Perioden- 

 wege, und jede erzeugende, hyperbolische Substitution jS^ 

 ergibt ein System von p simidtanen Fimdamentaliierioden 



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