178 E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 



Für die parabolischen Substitutionen haben wir dagegen 

 (siehe oben) 



^aßy (" + lö) = 4^y (03), 4^y {iZrie^)= 4|3yM- 17) 



In eine genauere Untersuchung dieser Fundamentalsysteme 

 brauchen wir jedoch nicht einzutreten, weil sich sofort 

 eine noch einfachere Darstellung der Perioden durch nur 

 12 Grössen ergeben wird. 



Allgemein erfahren die Integrale beiden linearen o-Suh- 

 stitutionen seihst lineare Transformationen. Das Differential 

 dw ist bei den Substitutionen I 33) der Gruppe F in- 

 variant, also bleibt nur die Aenderung von x^ x^ x'i = 



y+5 



= s 7t ^ , nach jenen Formeln in Betracht zu ziehen. 

 dw ** 



Demnach ist bei der Grundoperation S 



cc + 1 

 ^aßy (« + 1) = « ^ 4y^ («) , 18) 



da nach 17) keine Constante zutritt. Dagegen muss bei T 



je eine von Null verschiedene Constante dazukommen, weil 

 das Integral I^ßy (w) nicht lauter Perioden Null haben 

 kann. Infolge der Bedeutung von S und T sind die sämmt- 

 lichen Periodensysteme lineare Aggregate der 2>aßy ^^^^^ ganz- 

 zahligen Coefficienten. Indessen sind von diesen Constanten 

 nur 12 unabhängig, denn, weil T die Periode 2 hat [vgl. 

 auch 17)], ist 



Vaßy = Pßay ' 20) 



Bei den erzeugenden Substitutionen der Gruppe F 

 hat man also 



