190 E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 



Unter Voraussetzung dieses Beweises kommen wir 

 also einerseits zu einem indirecten Beweis von 54), ander- 

 seits zu dem Satze: Damit die rediicihele Corres])onden2 

 n, Grades volle Schniü])unktsysteme liefere ^ ist notiuendig 

 und hinreichend, dass 



?i = 5 mod. 8 ^liclit durch r^-j-s^ 1 



72=3 nicht durch r^-{-2s^ J 55) 



?i = l weder durch r^-\-s^ noch durch r^-{-2s^j 



darstellbar ist. 



Damit aber die Zahl n durch Formen der Deter- 

 minante — 1, resp. — 2 nicht darstellbar sei, ist notwendig 

 und hinreichend, dass sie, nach Absonderung aller quadra- 

 tischen Factoren, irgend einen Primfactor der Form 4/i-|-3, 

 resp. einen der Formen 8/i-h5, Sh-\-7 enthalte. Umge- 

 kehrt lässt sich bekanntlich jede Primzahl der Form 

 2)j^== 4/i+l stets und nur auf eine Weise in zwei Quadrate 



2h = al -f hl {ük ungerade, h gerade), 56) 



jede Primzahl von einer der Formen yj,= ^h~\-l, iü=^^h-h^ 

 ebenso eindeutig in ein Quadrat und ein doppeltes Quadrat 

 zerlegen 



j9fc=4-l-2?)J,jy;,=at-f-2&;'(ai,aL,&Umgerade, ?>;, gerade). 57) 



Betrachten wir nun die Darstellungen zusammenge- 

 setzter Zahlen. Sei zuerst n'=i\p<i -^ Vfj^ das Product 

 lauter verschiedener Primzahlen der Form ^9^ = 4/^4-1; 

 stellen wir dann jedes ih nach 56) dar und bilden 



fi 

 A-hBi= n{aj,-{-hi\ 58) 



SO finden wir sämmtliche Darstellungen 



n' = A^-^B^ {A ungerade, B gerade ^0), 59) 



