E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 199 



Nun werde die Form /, unter der Voraussetzung 

 xl = yl = — l, auf die Normalform g des vorigen Para- 

 graphen gebracht und damit allen linearen Abhängigkeiten 

 der Variabelen vermöge i^= 0, ^ = Rechnung getragen. 

 Zugleich mit/= bestehen auch alle Gleichungen, welche 

 aus ihr dadurch entspringen, dass man die Variabelen 

 den simultanen Substitutionen der Gruppe F ^unterwirft, 

 da /= eine Identität in co ist. Führen wir insbesondere 

 die 64 simultanen e-Multiplicationen (II 36) aus, so haben 

 alle resultirenden Formen /i,/2,..-/6i die Normalform. 

 Bilden wir das Product derselben 



nf,{x^ , x^ ; y^,y-2) = TL nf{8 x^ , h^x^ ; s" Vi, ^""^y^)^ 14) 



i=l ;i=0|u=0 



SO ist dasselbe eine ganze Function 8»i. Grades mx\^'/:, 

 8 r. Grades in y\ = l\ Denn das innere Product für ein 

 festes l ist, als symmetrische Function der conjugirten 

 Werte der ganzen, algebraischen Functionen x^, y^ von 

 x^, ?/i, eine ganze Function von x\, y\\ auf die Glieder 



mit £ r^i, £^ ?/i, welche sie ausserdem enthält, bezieht sich 

 ebenso das äussere Product. 



Nun ist die geivöltnliclie Modidargleichimg zwischen 



i¥(x2,A2) = 15) 



bekanntlich irreducibel und sowol in jc^ als in A^ vom 

 Grade N = 8w. Die Gleichung 77/ = hat aber, nach 

 der Definition der Modularcorrespondenz /= 0, für jedes 

 V = y\ 8m Wurzeln x- = xl mit der Modulargleichung 

 M= gemein. Daher ist r>mj und das Product Ufi, 

 als vom 8r. Grade in A^, kann ymr gleich 31 sein ^ multi- 

 plicirt mit einem nur von A^ ahhängigen rationalen Factor 

 8 (r — m). Grades 



nf, = Eil'') M{k\ k^) . 16) 



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