E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 20^ 



Die hiternäre Form f soll eine Simultaninvariante 

 der Corresyondenz lieissen, ivenn sie sich hei den erzeugen- 

 den simultanen Siibstitutionen II 36) der Gruppe F und 

 heim Reihenweclisel II 37) nur um einen constanten Factor 

 ändert. Dieser Factor wird sich infolge der Periodicität 

 der Substitutionen zudem als Eins erweisen. 



Der Beweis, dass die Correspondenzgleichung in der 

 Tat stets formal invariant gewählt werden kann, zerfällt, 

 je nachdem m < 8 oder m > 8, in zwei Teile. Jede Mo- 

 dularcorrespondenz f= einer Ordnung m < 8 muss durch 

 das Verschwinden einer Simultaninvariante dargestellt sein. 

 Denn geht / durch eine lineare Substitution in /' über, 

 so hat sowol / als /' schon die Normalform, also stellen 

 /= 0, /' = nach 10) nur dann dieselbe Correspondenz 

 dar, wenn /,/' bis auf einen constanten Factor identisch 

 sind (vgl. das Corollar p. 197). 



Ist aber m > 8, so kann die Correspondenzgleichung 

 stets durch eine verschwindende Simultaninvariante ersetzt 

 werden (vgl. § 15). Sei nämlich die gegebene Form/ nach 

 7) auf die Normalform g gebracht. Durch Anwendung einer 

 iterirten periodischen Substitution *S', ^S'^ ... mögen die 

 Functionen /, g, Gi^, Hi^ successive übergehen in J\ , g^ , 



Oxl. Hf^\ /2, ^2, G-Z^ H%\ ... Hier ist aber z. B. g, die 

 Normalform von / in Bezug auf S{x^), Siy^), also im 

 allgemeinen verschieden von der Normalform g' von / in 

 Bezug auf x^.y^, und zwar hat die Differenz die Form 



^i-^' = ii?i^y*'', 19) 



so dass 



/ = ^' + 2:(g1'^ -4- ^,^) F^ Q>\ 20) 



Sollen nun /= 0, / = 0, ... dieselbe Correspondenz dar- 

 stellen, so müssen nach 11) die Identitäten bestehen 



