212 E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 



nur die Werte besitzen 1, 1 ; 1, 0; 0, 1 ; 0, 0; jede Klam- 

 mer ist multiplicirt in eine ganze Function der Zu, deren 

 Dimension, der Abnahme von a, b entsprechend, wächst. In 

 analoger Weise sind aber noch Klammerfactoren mit ^,ö<1 

 auf solche mit ^ = = zurückzuführen. Für q = 6=1 

 geht die Formel 46) weiter über in 



(4'^%^3"^'H-...)=(22,^-g)(4"^%4-..0-44(^fr4'^'+---) 48) 

 und für ()=0, ö=l, — ganz analog auch für ^=1, ö=0, — 



(44'^'+...) = (24-5)(44+-)-44"^'(44r'+-), 49) 



vorausgesetzt, dass nicht nur r, 5 < 8, sondern auch r-f-5 < 8 ; 

 für r+s>8 würde statt 49) eine mit 48) ganz analoge 

 Formel eintreten. Es kann aber sogar r-\-s<S voraus- 

 gesetztwerden, denn, war r-{-s>S, so führt man durch 



(^13^23"^"') = ^11(^12^32 +•••) ^22(^21 ^31 H~'-) 50) 



Exponenten 8-r, 8-s, r-f 5-8 gemäss der Voraussetzung ein. 

 Dass die in den drei letzten Formeln eingeführten Klam- 

 mern einen andern Index auszeichnen als die gegebene, 

 ist bei der Umformung einer symmetrischen Summe irre- 

 levant. 



Somit ist I gleich einem Aggregat von Invarianten 

 folgender Beschaffenheit: die Klammer factoren enthalten 

 statt tty h nur Exponenten r, s, die der Ungleichheit ge- 

 nügen 0<r<s<r-\-s<Sund nach 47) und ev. 50) aus a, h 

 gebildet sind; an Stelle des ternären Factors steht je eine 

 ganze Function der Zu, Zi. Hier sind die Klammerfactoren 

 offenbar durch keinerlei Recursion mehr zu vereinfachen; 

 dagegen tritt nun für den ternären Factor das erste Re- 

 ductionsprincip in Kraft, nach welchem für denselben nur 



