226 E. Fiedler, Irrationale Modulargleichungen. 



I. 8. Stufe w = 3 mod. 8. 



ri = 3 Zi = 



>i = 11 Z?-16Z3 = 



n = 19 Z5— 16Z3(4Z2-.+ 3Z?) = Ui) 



n = 21 Z\ - 16Z?Z3 (16Zoi- 76 Z? Z,, + 31 Zt) 

 — 256Z,ZUl2Zo- 4-5Z0 - 12328Z^= 0, 



wo nach 13, IV 63) Zi, Z2, Z3 offenbar ebenso zu interpretiren 

 sind wie die für n = 3 mod. 16 angegebenen Invarianten 

 Z[, Z'2, Z'z, während wieder Zoj — Z\ — 4Z2. 

 IL Beispiele für h=1 mod. 8 sind ?i=33, 57, u. s. w. 



Von diesen Gleichungen finden sich in der Litteratur, 

 ausser der bekannten Legendre'schen Gleichung für ?i=3 

 und der Gützl äff 'sehen für n^l (Grelles Journal XII), 

 folgende : für ^? = 11 ist die Gleichung implicite bei Herrn 

 Schröter enthalten (de aequat. moduL); für ?i=23 wurde 

 die obige Form zuerst von Herrn Hurwitz gegeben (Math. 

 Ann. XVII p. 69), sie lässt sich aber auch aus der com- 

 plicirteren Schröter'schen Gestalt (1. c, vgl. Acta math. 

 V p. 208) gewinnen; endlich ist noch n = 4:7 aus der von 

 Herrn Hurwitz berechneten Form abzuleiten. 



Die einfachsten Fälle n = 3, 7 erfordern nach der 

 vorgeführten Methode überhaupt keine Rechnung, da die 

 Gleichungen notwendig die bilinearen Invarianten sind, 

 gleich Null gesetzt. Aber auch in den folgenden Fällen 

 ist das Verfahren so expeditiv, dass n = 11, 21, 23, 31 

 nur die numerische Berechnung eines einzigen, die übrigen 

 Grade die von immer nur sehr wenigen Coefficienten er- 

 fordern. Es ist einleuchtendj welchen Rechnung svorteil gegen - 

 über der gewöhnlichen Ordnung nach Potenzen von (p, ij^ 



