396 Fiedler, über die Büschel gleichseitiger Hyperbeln, etc. 



Weiteres erhält man nun aus einer ebenso einfachen 

 neuen Construction der gleichseitigen Hyperbel 

 durch vier beliebige Punkte A, B, (7, D. (Vergl. 

 «Darstell. Geom.», 3. Aufl., Bd. I, § 29,8.) Seien 1, D 

 die Scheitel der projectivischen Strahlenbüschel, welche 

 dieselbe erzeugen, so sind diese Büschel durch die beiden 

 Strahlenpaare AB, DB\ AC, DC und durch die Forde- 

 rung bestimmt, dass ihre Doppelstrahlen bei sich selbst 

 paralleler Zusammenschiebung an ein Centrum zu einander 

 rechtwinklig sein sollen. Denken wir das zweite Büschel 

 parallel sich selbst nach A verschoben, so erhalten wir 

 z. B. im Kreise Kc durch AB, J.C die Punkte B\ C und 

 durch die Parallelen aus A zn DB, DC die Punkte B'\ C" 

 und der Schnittpunkt der Geraden B^ C", B*' C ist noth- 

 wendig ein Punkt P der Geraden, welche aus Kc die Punkte 

 ausschneidet, nach denen die Doppelstrahlen gehen; so 

 dass, wenn diese zu einander rechtwinklig sein sollen, jene 

 Gerade nur der durch den Punkt P gehende Durchmesser 

 PC von Kc sein kann. In unserem Falle ist sein zweiter 

 Schnittpunkt mit dem Ortskreise des Dreiecks ABC, wel- 

 cher ja als ersten Schnittpunkt Q enthält, schon der Mittel- 

 punkt der gewünschten Hyperbel und man erhält nach 

 dem Vorigen zuglei(!h ihre Asymptoten parallel den Dop- 

 pelstrahlen. 



Wenn der vierte Punkt D aber mit dem Höhen- 

 schnittpunkt H des Dreiecks der drei übrigen zusam- 

 menfällt, was zur Folge hat, dass jeder der vier Punkte 

 der Höhenschnitt des Dreiecks der drei andern ist, so sind 

 AB und die Parallele durch A zu ITC und wiederum AC 

 und die Parallele durch A zu P^ rechtwinklig zu einander, 

 die zugehörigen Sehnen im Hilfskreis Kc sind zwei Durch- 

 messer desselben, ihr Schnittpunkt P ist also sein Mittel- 



