Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 17 



lung für die Zahl 7t zu bezeichnen sein, sondern 

 auch als das erste Beispiel der Darstellung einer 

 Zahl durch ein unendliches Product. 



Ausser dieser Formel für den Flächeninhalt hat 

 Vieta aber auch noch, »indem er den Spuren des 

 Archimedes folgte«, mittelst eingeschriebener und um- 

 schriebener Polygone, mit dem Sechseck beginnend und 

 mit dem 2^*^. 6 -Eck abschliessend, die durch den fol- 

 genden Satz bestimmten engeren Grenzen für die Zahl 

 TT gegeben'^): Setzt man den Durchmesser eines Kreises 

 gleich 100000, so ist sein Umfang grösser als 

 314159 j^^, aber kleiner als 314159 j^^^. 



Der von Vieta erreichte Genauigkeitsgrad wurde 

 bald von dem holländischen Mathematiker Adrianus 

 Romanus (gest. 1616) überboten, der die Zahl tc auf 

 15 Decimalen berechnete, namentlich aber von Ludolph 

 van Ceulen (geb. zu Hildesheim 1539, gest. als Pro- 

 fessor der Mathematik in Leyden 1610). In der Schrift 

 »De circulo et adscriptis« setzt Ludolph seine im Jahre 



Euler hat später auf trigonometrischem Wege und, wie es 

 scheint, ohne die Vieta'sche Formel gekannt zu haben, eine Ver- 

 allgemeinerung derselben gegeben in der Abhandlung : „ Variae 

 observationes circa angulos in progressione geometrica progre- 

 dientes" (Opercula analyt., I. , pag. 346). Es heisst dort: „Hinc 

 igitur ipse arcus s per ejus sinum et cosinus arcuum continuo 

 in ratione dupla decrescentium ita pulcherrime definitur, ut sit 



sin s •' 



1111 

 cos - .9 . cos - s . cos j-s . cos — .S'. 



2 4 8 IG 



Für s = -— geht diese Euler'sche Formel in die Vieta'sche 

 über, die für die logarithmische Berechnung von ti sehr ge- 

 eignet ist, wie Euler a. a. 0. weiter ausführt. 



*) Opera, pag. 392. 



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