22 Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 



jetzt (las Bestreben in den Vordergrund, die Zahl ;t durch 

 analytische Ausdrücke , denen eine unendliche Reihe von 

 Operationen zu Grunde liegt, darzustellen. 



So fand Wallis (geb. 1616, gest. als Professor der 

 Mathematik in Oxford 1703) die Darstellung der Zahler 

 durch ein unendliches Product, indem er in seiner Arith- 

 metica infinitorum (Opera I, pag. 467) bewies, dass 



2 iss's'ö't't'g''' 

 sei, eine Darstellung, die vor der Vieta'schen den 

 grossen Vorzug besitzt, dass nur rationale Opera- 

 tionen verlangt werden; so gab ferner Lord Brouncker 

 (1620—1684) die merkwürdige Formel : 



2 + -A^ 25 



^+ ^ . 81 



2+ . . ., 



welche die Zahl 7t durch einen unendlichen Kettenbruch 

 berechnen lehrt. Brouncker hatte diese Formel ohne 

 Beweis Wallis mitgetheilt, der dann in seiner Arithme- 

 tica infinitorum ihre Richtigkeit bewies.*) 



Die Hauptrolle aber bei allen weitern Untersuchungen 

 über die Kreismessung spielt die von Gregoiy (1670) und 

 Leibnitz (1673) gefundene Reihe, welche den zu einer 

 gegebenen trigonometrischen Tangente x gehörigen (durch 

 den Radius gemessenen) Bogen arctg x darstellt, nämlich: 



*) Euler hat in seiner Introductio in analysin infinitorum 

 (I, Cap. 18, pag. 305) die Brouncker'sche Formel als einen spe- 

 ciellen Fall viel allgemeinerer Entwicklungen nachgewiesen. In 

 dem gleichen Werke beweist Euler auch die Wallis'sche Formel 



durch Entwicklung von sin und cos in unendliche Pro- 



ducte (I, Cap. 11, pag. 146). 



