Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 23 

 arctg x=^ X 5- + -? ^+ ...in inf. 



Setzt man in dieser Keihe die Tangente a; = 1, so 

 wird der Bogen arctg « = 7- und man erhält die so- 

 genannte Leibnitz'sche Reihe: 



4 3^5 7^9 11^' 



welche zwar die von Vieta, Wallis und Brouncker ge- 

 gebenen Darstellungen an Einfachheit weit übertrifft, 

 aber doch zu langsam convergirt, um für die practische 

 Berechnung von 7t benutzt werden zu können. Man 

 kann aber aus der Reihe für arctg x andere sehr rasch 

 convergirende Reihen ableiten, wenn man den Bogen 

 von 45 *', d. h. ^, in mehrere Theile zerlegt und die 



Formel tg (a + & ) = ^ '^7" ^i. i anwendet, welche man 



^ ^ ^ 1 — tg a tg & . 



für tg a = X und tgb — y auch in der Form schreiben 



^^"»1 • arctg X + arctg y = arctg j^^. 



Auf diese Weise fand der englische Mathematiker 

 Mach in (1706), dass das Vierfache des Bogens, dessen 



1 7C 



Tangente gleich f ist, den Bogen -7 nur um äusserst wenig 

 übertrifft, nämlich um einen Bogen, dessen Tangente 

 genau gleich ^^^ ist , so dass also die Relation besteht : 



239 



4 arctg ^ — arctg hök- 



4 &5 "^-•'0 239 



Mit Benutzung der Reihe für arctg x lieferte dies 



aber für tt die Darstellung: 



^^ . /l 1 _l^ l_ \ 



4 * V5 3 . 53 + 5 . 5^ 7 . 5^ "^ • • 7 



_(J- l_ + -i L-+ ) 



\239 3 . 239* ^ 5 . 239* 7 . 239'' ^ * " 7 ' 



welche für die practische Berechnung von 7t ausser- 



