Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 37 



Halbmesser gleich und demnach = 1 ist. Damit ist 

 also der Bogen von 45 Gr. und folglich auch der Bogen 

 von 90, 180, 360 Gr. irrational, oder diese Bögen haben 

 zu dem Halbmesser des Circuls kein rationales Ver- 

 hältniss » . . . 



Dem Lambert'schen Beweise für die Irrationalität 

 von 7r fehlte zur völligen Strenge ein Hülfssatz über die 

 Irrationalität gewisser Kettenbrüche, den später Le- 

 gendre (1752—1833) in seinen im Jahre 1794 ver- 

 öffentlichten »Elements de Geometrie« (Note 4) hin- 

 zufügte und der in etwas vervollständigter Form*) sich 

 so aussprechen lässt : 



Sind im endlichen Kettenbruche 



«1 



Ol + -r— £«3 



wo € gleich + 1 oder — 1 ist, die Theilzähler 

 ein und die Theilnenner J,, sämmtlich natürliche 

 Zahlen, welche von einem bestimmten Werthe 

 von n: n = m an, falls s = + 1 der Relation K ^ «n, 

 falls £ = — 1 ist, der Relation bn ^«n-H 1 genügen, 

 jedoch so, dass in der letzteren für unzählige 

 Werthe von n das obere Zeichen gilt; so ist der 

 Grenzwerth des Ketttenbruches eine irrationale 

 Zahl. 



Legendre zeigte dann überdies, dass nicht nur tt, 

 sondern auch 7t^ eine irrationale Zahl sei. Denn schreibt 



*) Stolz, "Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, II, 

 pag. 297. 



