40 Ixudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 



lirt und zum Beweise desselben aufgefordert, aber man 

 hatte doch bis zur Mitte unseres Jahrhunderts gar keinen 

 positiven Anhaltspunkt dafür, dass es überhaupt Zahlen 

 gäbe, welche nicht Wurzeln irgend einer algebraischen 

 Gleichung mit rationalen Coefficienten sein können. 



Liouville war der erste, der hierfür einen strengen 

 Beweis lieferte*), indem er Zahlen von einfachem Bil- 

 dungsgesetze herstellte, von denen sich nachweisen Hess, 

 dass sie keiner algebraischen Gleichung mit rationalen 

 Coefficienten genügen. Als ein solches Beispiel führt er 

 unter anderen eine Zahl an, die ein ganz ähnliches Bil- 

 dungsgesetz besitzt wie die Basis der natürlichen Loga- 

 rithmen, nämlich : 



^^ T'^Jh^ uTÜ "^ • ■ • '^iuh..hn~i ^ ■ ■ ■ 

 Bedeuten hierin Z, h, h, . . . ganze Zahlen und 

 wächst Im hinreichend rasch mit dem Index m, so lässt 

 sich zeigen, dass x nicht Wurzel irgend einer alge- 

 braischen Gleichung mit rationalen Coefficienten sein 

 kann. 



Seit dieser wichtigen Liouville'schen Entdeckung ist 

 man berechtigt, alle Zahlen in algebraische und in 

 transcendente einzutheilen, während man früher nur 



*) Liouville's .Journal XVI (1851): ,Sur des classes tres- 

 etendues de quantites dont la valeur n'est ni algebrique ni 

 meme reductible a des irrationnelles alg^briques." Die Haupt- 

 sätze dieser Abhandlung hatte Liouville schon 1844 in den 

 Comptes rendus XVIII, pag. 88.3 und 910 mitgetheilt. 



Einen andern Beweis für die Existenz transcendenter Zahlen 

 gab später Herr G. Cantor in der Abhandlung : „Ueber eine 

 Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen." 

 (Grelle, Bd. 77.) 



