42 Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 



Nun ist aus der Planimetrie bekannt, dass ^Yenn die 

 Coefticienten einer quadratischen Gleichung als construir- 

 bar vorausgesetzt werden, auch die Wurzeln der Gleichung 

 construirt werden können, wo unter »construiren« immer 

 »mit Zirkel und Lineal construiren« verstanden ist. Aus 

 diesem Grunde sind die Wurzeln einer jeden quadra- 

 tischen Gleichung mit rationalen Coefticienten construir- 

 bar, wie z. B. Y2. Bezeichnet man für den Augenblick 

 die Wurzeln solcher Gleichungen als Irrationalitäten 

 erster Art, so erkennt man, dass sich jetzt auch die 

 Wurzeln einer jeden quadratischen Gleichung construiren 

 lassen, deren Coefticienten als einzige Irrationalitäten 

 solche erster Art enthalten, denn es sind eben die Coef- 

 ficienten einer solchen quadratischen Gleichung con- 

 struirbare Zahlen. Nennt man die Wurzeln solcher 

 Gleichungen kurz Irrationalitäten zweiter Art, so ergiebt 

 sich jetzt, dass auch die Wurzeln jeder quadratischen 

 Gleichung construirbar sind, deren Coefticienten als ein- 

 zige Irrationalitäten solche erster und zweiter Art ent- 

 halten u. s. f. 



Es sei daher jetzt eine Kette von quadratischen 

 Gleichungen der folgenden Beschaft'enheit gegeben : Die 

 Coefticienten der .ersten Gleichung seien rationale Zah- 

 len, während die Coefticienten jeder folgenden Gleichung 

 nur solche Irrationalitäten enthalten, die sich aus der 

 Auflösung der vorhergehenden Gleichungen ergeben. Dann 

 kann mau successive die Wurzeln einer jeden Gleichung, 

 also auch der letzten, construiren. Man sieht also: Da- 

 mit eine Zahl construirbar sei, ist hinreichend, dass sie 

 sich als Wurzel einer quadratischen Gleichung darstelle, 

 welche das letzte Glied einer Kette von quadratischen 

 Gleichungen der bezeichneten Art bildet. Diese Bedin- 



