Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 43 



gung ist aber nicht nur hinreichend, sie ist auch 

 nothwendig für die Construirbarkeit einer Zahl. Denn 

 da jede Construction nichts anderes ist als eine Combi- 

 nation der beiden Elementaraufgaben, eine gerade Linie 

 durch zwei gegebene Punkte zu ziehen und um einen 

 gegebenen Punkt mit einem gegebenen Radius einen 

 Kreis zu beschreiben, und da andererseits gerade Linien 

 und Kreise analytisch durch Gleichungen des ersten und 

 zweiten Grades ausgedrückt werden, so wird eine Con- 

 struction durch Zirkel und Lineal analytisch sich durch 

 eine Kette von quadratischen Gleichungen ausdrücken 

 lassen, insofern man lineare Gleichungen ja auch als 

 specielle quadratische auffassen kann. Da überdies jede 

 bei der Construction auszuführende Elementaraufgabe 

 nur solche Elemente zu benutzen braucht, die durch 

 die vorher gelösten Elementaraufgaben bereits construirt 

 worden sind, so wird auch jede der auftretenden Glei- 

 chungen in ihren Coefficienten nur solche Irrationalitäten 

 enthalten, welche sich durch Auflösung der vorhergehen- 

 den quadratischen Gleichungen ergeben. Daraus folgt 

 also, dass jede durch Zirkel und Lineal construirbare 

 Zahl sich als Wurzel einer quadratischen Gleichung muss 

 darstellen lassen, welche das letzte Glied einer Kette 

 von quadratischen Gleichungen der bezeichneten Art 

 bildet. 



Nun lässt sich aber eine solche Kette von quadra- 

 tischen Gleichungen stets ersetzen durch eine einzige 

 algebraische Gleichung mit rationalen Coefficienten da- 

 durch, dass man die in der letzten Gleichung auf- 

 tretenden Irrationalitäten, welche ja Wurzeln der vor- 

 hergehenden Gleichungen sind, mit Hülfe dieser letzteren 

 successive eliminirt. Auf diese Weise gewinnt man den 



