44 Kudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 



folgenden, für das Problem von der Quadratur des Zir- 

 kels fundamentalen Satz : 



Damit eine Zahl durch Zirkel und Lineal 

 c n s t r u i r b a r sei, ist n o t h w e n d i g und hin- 

 reichend, dass sie sich als Wurzel einer ge- 

 wissen algebraischen Gleichung mit ratio- 

 nalen Coefficienten darstelle, welche äqui- 

 valent ist einer Kette von quadratischen 

 Gleichungen der bezeichneten Art. 



Durch diesen Satz wird der Zusammenhang der 

 Frage nach der Möglichkeit der Quadratur des Zirkels 

 mit der Frage, ob 7t eine algebraische oder transcen- 

 dente Zahl sei, in das richtige Licht gesetzt. Damit die 

 Quadratur des Zirkels ausgeführt werden könnte, wäre 

 nicht nur erforderlich, dass :r überhaupt eine alge- 

 braische Zahl sei, sondern es müsste ?r sogar Wurzel 

 einer solchen algebraischen Gleichung sein, welche durch 

 Quadratwurzeln aufgelöst werden kann, d. h. es müsste 

 71 selbst durch Quadratwurzeln ausdrückbar sein. Nun 

 haben wir zwar in der Vieta'schen Formel eine Darstel- 

 lung der Zahl :t mittelst Quadratwurzeln kennen ge- 

 lernt, aber die Operation des Wurzelausziehens kommt 

 in dieser Darstellung unendlich oft vor, während die 

 Wurzel einer algebraischen Gleichung der angegebenen 

 Art selbstverständlich durch eine endliche Anzahl von 

 Quadratwurzeln ausdrückbar sein muss. Die Yieta'sche 

 Formel würde also im Gegentheile zu der Vermuthung 

 führen, dass die Zahl >t nicht die zur Ausführbar- 

 keit der Quadratur des Zirkels erforderliche Eigenschaft 

 besitze. 



Wie dem aber auch sei, die Unmöglichkeit der 



