Rudio, «Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 45 



Quadratur des Zirkels wird jedenfalls dann ausser allem 

 Zweifel sein, wenn es sich herausstellen sollte , dass die 

 Zahl TT überhaupt nicht eine algebraische, sondern eine 

 transcendente Zahl ist. 



Die Entscheidung dieser wichtigen Frage verdankt 

 man den Herren Hermite und Lindemann. 



Im Jahre 1873 bewies zunächst Herr Hermite in 

 Paris, dass die mit der Zahl 7t in so engem Zusammen- 

 hange stehende Basis der natürlichen Logarithmen eine 

 transcendente Zahl sei, dass also eine Gleichung von 

 der Form : 



A^i e^i -4- A'a e^2 + . . + iS^r e^r = 



nicht bestehen kann, wenn a?i, x<^^ . . cc,. von einander 

 verschiedene und JN^j, A"^2 5 -^> beliebige ganze Zahlen, 

 die nicht sämmtlich gleich Null sind, bedeuten.*) 



Ausgehend von dieser grundlegenden Arbeit, ins- 

 besondere von den Relationen zwischen gewissen be- 

 stimmten Integralen, deren sich Herr Hermite bei 

 seinem Beweise bedient hatte, gelang es dann im Jahre 

 1882 Herrn Prof. Lindemann, das Jahrtausende alte 

 Problem von der Quadratur des Zirkels zur endgültigen 

 Erledigung zu bringen durch den strengen Nach- 

 weis, dass auch die Zahl n eine transcendente 

 Zahl ist. 



Dieses Piesultat ergab sich aus einem Satze, der 

 als Verallgemeinerung des ersten der beiden oben er- 

 wähnten Lambert'schen Theoreme zu betrachten ist und 

 der folgendermassen lautet : 



*) Vergl. „Sur la fonction exponentielle" ( Comptes rendus 

 Bd. 77). 



