46 Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 



Ist z Wurzel einer irreducibeln alge- 

 braischen Gleichung, deren Coefficienten 

 reelle oder complexe ganze Zahlen sind, so 

 kann e'- nicht gleich einer rationalen Zahl 

 sein. 



Es ist aber nach Euler ^'^ = — 1 , also gleich 

 einer rationalen Zahl. Folglich kann ;ti, und daher 

 auch it selbst, nicht Wurzel einer algebraischen Glei- 

 chung der angegebenen Art sein. Da sich aber auf 

 diese letztere Form jede algebraische Gleichung mit 

 rationalen Coefficienten bringen lässt, so folgt: 



Die Ludolph'sche Zahl n kann nicht Wurzel 

 einer algebraischen Gleichung mit rationalen 

 Coefficienten sein. 



Damit steht aber fest, dass die Quadratur 

 des Zirkels constructiv unausführbar ist.*) 



Aber durch den Lindemann'schen Satz, dass die 

 Zahl jc transcendent ist, wird die Frage nach der Qua- 

 dratur des Zirkels in einem unendlich viel weiteren Um- 

 fange beantwortet, als sie ursprünglich gestellt war : Die 

 Quadratur des Zirkels ist nicht nur unmöglich, wenn als 

 constructive Hülfsmittel nur Zirkel und Lineal zugelassen 

 werden, sie ist auch unausführbar, wenn bei der Con- 

 struction überhaupt nur algebraische Curven und Flächen 



*) Die Lindemann'schen Untersuchungen sind zuerst mit- 

 getheilt in den Berichten der Berliner Akademie (1882): 

 , Ueber die Ludolph'sche Zahl * von Prof. F. Lindemann in 

 Freiburg i. Br. Vorgelegt von Herrn Weierstrass am 22. Juni. 



Die weitere Ausführung gab Herr Lindemann in der Ab- 

 handlung : „Ueber die Zahl n". (Math. Aunalen, Bd. 20, pag, 

 213-22.5.) 



