12 Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 



und dem Secliundneunzigeck abschliessend. Bei diesen 

 Berechnungen aber wählt Archimedes mit derselben be- 

 wiissten Sicherheit die auftretenden Qiiadratwurzehverthe 

 jedesmal so, dass die betreffende Polygonseite etwas zu 

 klein angegeben wird. Er findet schliesslich, der Um- 

 fang des eingeschriebenen Sechsundneunzigecks stehe zum 

 Durchmesser in grösserem Verhältniss als 6336 : 2017 j 



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Dieses Verhältniss aber ist grösser als 3_r: 1. Lm so 



mehr ist folglich der Umfang des Kreises grösser als 



3-T des Durchmessers, 

 /i 



Die von Archimedes angegebene obere Grenze 3 _ 

 für die Zahl rt wird ihrer Einfachheit halber noch heute 

 vielfach benutzt, wenn es sich nur um eine mittlere Ge- 

 nauigkeit handelt; die von ihm geschaffene Methode 

 aber, den Kreisumfang mittelst eingeschriebener und um- 

 schriebener Polygone zu berechnen, blieb bis zur Aus- 

 bildung der Differential- und Integralrechnung, also fast 

 zwei Jahrtausende hindurch, maassgebend. Der Werth 3 _ 



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= -^ ist überdies noch desswegen so sehr bemerkens- 

 werth, weil es unmöglich ist, bei Zulassung von nur 

 zweistelligen Zahlen den Werth von rr genauer aus- 



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zudrücken als eben durch y. Es geht dies aus bekann- 

 ten Eigenschaften der Kettenbrüche hervor. Entwickelt 



man nämlich 7t = 3,1415926535 ... in einen Ketten- 



3 22 333 



bruch, so findet man die Näherungsbrüche ^j yi jöG' 



ni ' ^33i(i'^ ■ * ' ^^'^^^^^ zeigen , dass y dem Werthe /r 

 näher kommt als jeder andere Bruch, dessen Nenner 

 kleiner ist als 106. 



Von den späteren griechischen Mathematikern sei 



