Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. H 



kann. Um beispielsweise die Seite FF' = 2 FC des um- 

 schriebenen Sechsecks zu berechnen, hat man: 



FE : FC = 2 : 1, F E'^ : F C^ = 4 : l, 

 FE' - EC : FC = 3:1, also EC : FC = 3:1. 

 Archimedes setzt nun ohne weitere Begründung FC : FC 



. . 1 m, . • . /265V 70225 ,. 



>265 : 153, und in der That ist (y^j =-23409""^ 



23409 



Durch Halbieren des Winkels CEF findet Archi- 

 medes die halbe Seite 

 (rCdes umschriebenen 

 Zwölfecks und zwar £'(7: 

 (7C>571:153u. s. f., 

 bis er schliesslich durch 

 fortwährendes Winkel- 

 halbieren für die halbe 

 Seite L C des umschrie- 

 benen Sechsundneunzig- 

 ecks erhält : FC: LC 

 > 4673V2 : 153. Dar- 

 aus folgt, dass der Um- 

 fang dieses Polygons zum Durchmesser in kleinerem 

 Verhältniss steht als 153 X 96 : 4673 V2 oder 14688 : 

 4673 V2. Dieses Verhältniss ist sehr wenig kleiner als 

 377 • 1. Es ist also der Umfang des Polygons und 

 daher um so mehr der Umfang des Kreises kleiner als 

 377 des Durchmessers.*) Um die untere Grenze für das 

 Verhältniss des Kreisumfanges zum Durchmesser fest- 

 zustellen , bedient sich Archimedes der entsprechenden 

 eingeschriebenen Polygone, mit dem Sechseck beginnend 



*) In Bezug auf das Detail der Rechnungen ist namentlich 

 die Abhandlung von Herrn Günther: „Antike Näherungsmethoden 

 im Lichte moderner Mathematik" (Prag, 1878) zu beachten. 



