10 Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 



messung« beweist Archimedes die drei Sätze: 1) »Jeder 

 Kreis ist einem rechtwinkligen Dreieck gleich, dessen 

 eine Kathete dem Halbmesser und dessen andere dem 

 Umfange gleich ist«; 2) »der Kreis verhält sich zum 

 Quadrate seines Durchmessers sehr nahe wie 11 : 14«; 

 3) »der Umfang eines jeden Kreises übertrifft das Drei- 

 fache des Durchmessers um weniger als -s-, aber um mehr 



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als -,- des Durchmessers « . Den ersten Satz beweist er 

 indirekt, indem er mittelst eingeschriebener, resp. um- 

 schriebener Vielecke von hinreichend vielen Seiten zeigt, 

 dass die Annahme, der Kreis sei grösser, resp. kleiner 

 als das in Rede stehende Dreieck, jedesmal zu einem 

 Widerspruch führt. Der zweite Satz stützt sich auf den 

 dritten, den man zu den grössten mathematischen Lei- 

 stungen des Alterthums rechnen darf. Archimedes be- 

 rechnet der Reihe nach die Seite des umschriebenen 

 Sechsecks, des Zwölfecks, des Vierundzwanzigecks , des 

 Achtundvierzigecks und des Sechsundneunzigecks, aus- 

 gedrückt durch den Durchmesser, und zwar gibt er mit 

 feinem mathematischem Gefühle das (immer nur nähe- 

 rungsweise bestimmbare) Verhältniss des Durchmessers 

 zur Seite des umschriebenen Polygons jedesmal etwas zu 

 klein an, wodurch er für den Umfang des betreffenden 

 Polygons und um so mehr für den Kreisumfang jedes- 

 mal eine sichere obere Grenze gewinnt. Die numerischen 

 Rechnungen, welche Archimedes hierbei anzustellen hatte, 

 fordern um so mehr unsere Bewunderung heraus, als es 

 sich doch fortwährend um das Ausziehen von Quadrat- 

 wurzeln handelte, deren Ermittlung zu einer Zeit, die mit 

 dem indischen Ziffernsystem und der Dezimalbruchrechnung 

 noch unbekannt war, Schwierigkeiten darbot, von denen 

 man sich heutzutaii:e nur schwer eine Vorstelluns bilden 



