Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels." ,.5 



1) 2( = TT cl ^ 2n r 



2) J — Tt r^ ■— — d- =— r u, 



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insofern man mit yr das für alle Kreise gleiche Ver- 

 hältniss des LFmfanges zum Durchmesser bezeichnet. Seit 

 der Mitte des letzten Jahrhunderts weiss man, dass /r 

 sich nicht als das Verhältniss zweier ganzer Zahlen aus- 

 drücken lässt, also keine rationale Zahl ist. Als Decimal- 

 bruch dargestellt, beginnt tt mit 3,141592653589793 . . . 

 Es mag nicht unnöthig sein , darauf hinzuweisen , dass 

 vielfach die Meinung verbreitet ist, die Quadratur des 

 Zirkels sei desswegen nicht ausführbar, weil man die 

 Zahl 7t numerisch immer nur angenähert, aber nie ganz 

 genau angeben könne. Wir werden später auf diese Frage 

 zurückkommen und dann erfahren, dass die Unmöglich- 

 keit der Quadratur des Zirkels keineswegs auf der Ir- 

 rationalität von 7t beruht. 



Aus Formel (2) entnimmt man die bekannte That- 

 sache, dass der Inhalt des Kreises dem Inhalte eines 

 Dreiecks gleichkommt, dessen Grundlinie der Umfang 

 und dessen Höhe der Radius des Kreises ist. Wäre 

 man nun im Stande, aus dem gegebenen Radius den 

 Umfang zu konstruiren, also die sogenannte Rectification 

 des Kreises constructiv auszuführen, so könnte man 

 auch jenes Dreieck construiren und dieses nach be- 

 kannten planimetrischen Vorschriften leicht in ein in- 

 haltsgleiches Quadrat verwandeln. Umgekehrt müsste, 

 wenn der Kreis durch eine Construction in ein inhalts- 

 gleiches Quadrat verwandelt werden könnte, auch die 

 constructive Herstellung jenes Dreiecks und folglich auch 

 des Kreisumfanges möglich sein. Man sieht also, dass 

 die nothwendige und hinreichende Bedingung für die 



