Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 47 



zur Anwendung kommen sollen. Denn eine Construction 

 mit diesen ganz allgemeinen algebraischen Hülfsmitteln 

 würde zwar nicht mehr wie früher (pag. 43) zu einer 

 Kette von quadratischen Gleichungen führen, aber doch 

 immerhin zu einer Kette von algebraischen Gleichungen, 

 durch welche dann doch wieder die zu construirende 

 Zahl als eine nothwendig algebraische bezeichnet würde. 

 Diese Möglichkeit ist aber ausgeschlossen, denn tc ist 

 transcendent. 



Im Jahre 1885 hat dann Herr Weierstrass, ohne 

 Voraussetzung der Hermite'schen Abhandlung, die Linde- 

 mann'schen Sätze auf einem verhältnissmässig elemen- 

 taren Wege, aber mit Beibehaltung der leitenden Grund- 

 gedanken aufs Neue abgeleitet und begründet.*) 



Zu diesem Zwecke bewies er zunächst den folgenden 

 Hülfssatz : 



«Es sei / (z) eine ganze Function (?i -1- \) Grades' 

 der Veränderlichen z mit gegebenen ganzzahligen 

 Coefticienten, die so beschaffen sind, dass die Gleichung 

 f(z) = () (?z + l)von einander verschiedene Wurzeln 

 hat, welche mit ^O) z^, . . Zy^ bezeichnet werden mögen. 

 Alsdann lässt sich, nach Annahme einer beliebig kleinen 

 positiven Grösse ö, auf mannigfaltige W^eise ein System 

 von (n -r l) ganzen Functionen g^^ (z), g^ (z), . . gn (z) 

 des Arguments z von nicht höherem als dem wten Grade, 

 deren Coefficienten sämmtlich ganze Zahlen sind, so 

 bestimmen, dass erstens jede der Differenzen 



*) Berichte der Berliner Akademie (1885) : Zu Lindemann's 

 Abhandlung: ^lieber die Ludolph'sche Zahl." 



