48 Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 



ihrem absoluten Betrage nach kleiner als d ist, und 

 zweitens die Determinante 



\<fv izk)\ (^' f = 0, 1, . . h) 



einen von Null verschiedenen Werth hat.« 



Da e^^ = — 1 ist und die Function e"" nur für solche 

 Werthe von x, welche (ungrade) Vielfache von 7t i sind, 

 den Werth — 1 annimmt, so substituirte Herr Weierstrass 

 dem zu beweisenden Satze von der Transcendenz der 

 Zahl 7t den folgenden : 



»Die Grösse e"" -h 1 hat, wenn x eine alge- 

 braische Zahl ist, stets einen von Null verschiedenen 

 Werth.« 



Zum Beweise dieses Satzes wird angenommen, die 

 beliebig gegebene algebraische Zahl x^ sei Wurzel einer 

 Gleichung 7-ten Grades : 



deren Coefficienten sämmtlich rationale Zahlen sind. 

 Da vorausgesetzt werden darf, dass r > 1 sei, weil für 

 r = 1 e^^i gleich der positiven Grösse e~''i und folglich 

 e^i + 1 sicher von Null verschieden ist, so hat obige 

 Gleichung ausser x^ noch (r— 1) andere Wurzeln, die 

 mit Äo, . . £Cr bezeichnet werden mögen. 



Mit Benutzung des oben angegebenen Hülfssatzes 

 konnte dann Herr Weierstrass zeigen, dass das Product 



(e^i + 1) (e''2 + 1) . . . (e^' + 1) 



und somit auch jeder einzelne Factor desselben einen 

 von Null verschiedenen Werth habe. Damit war aber 

 bewiesen, dass die Zahl Tii und daher auch 7t 

 selbst eine transcendente Zahl ist. 



