Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 49 



Herr Weierstrass wendet sich dann in seiner Ab- 

 handlung zu allgemeineren, auf die Exponentialfunction 

 sich beziehenden Sätzen und beweist namentlich das 

 folgende, von Herrn Lindemaun aufgestellte Theorem, 

 welches die von Herrn Hermite begonnenen Unter- 

 suchungen über die Exponentialfunction zum Abschluss 

 bringt : 



»Werden unter x^, Xo, . ■ Xy von einander 

 verschiedene, unter X^ , Xo, . . X,. aber belie- 

 bige algebraische Zahlen verstanden, so kann die 

 Gleichung 



2J X.e^^ = 



nur in dem Falle, wo Zj , X2, . • A\ sämmtlich den 

 Werth Null haben, bestehen.« 



In diesem fundamentalen Satze ist der transcen- 

 (lente Charakter der beiden Zahlen e und ^ gleich- 

 zeitig zum Ausdruck gebracht. 



Von ganz besonderem Interesse aber ist der von 

 Herrn Lindemann hervorgehobene Specialfall, der sich 

 ergiebt, wenn man r = 2, A'i = — 1, a;, = 0, x^ = x und 

 A'2 = X setzt. Man erhält dann die wahre Verallgemei- 

 nerung des Lambert'schen, auf die Zahl e bezüglichen 

 Satzes , nämlich : 



»Die Exponentialgrosse e'' ist stets eine 

 transcendente Zahl, wenn x eine von Null ver- 

 schiedene algebraische Zahl ist.« Und durch Um- 

 kehrung: »Der natürliche Logarithmus einer 

 algebraischen Zahl X ist immer eine trans- 

 cendente Zahl, wenn A' nicht den ^Y e r t h 

 1 h a t. « 



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