50 Rudio, Das Problem von der Quadratur des Zirkels. 



Diese beiden Sätze gehören , wie Herr Weierstrass 

 bemerkt, zu den schönsten Sätzen der Arithmetik. 



Aber auch nach der geometrischen Seite hin liefert 

 das allgemeine Lindemann'sche Theorem reiche Aus- 

 beute. Setzt man nämlich, mit Herrn Weierstrass, r = 3, 



Xi = i; X2 = — i, Xo = — «1, «3 = und schreibt y 

 für«!, ZfürXg, so ergiebt sich, dass die Gleichung 



2sin| = .Y 



nicht bestehen kann, wenn a?, .Y beide algebraische 

 Zahlen sind und x einen von Null verschiedenen 

 Werth hat. 



Daraus erhält man aber einen Satz, der die Un- 

 möglichkeit der Quadratur des Zirkels nur als einen 

 ganz speciellen Fall enthält und die darauf bezüglichen 

 Fragen in möglichster Allgemeinheit und Vollständigkeit 

 abschliessend beantwortet : 



»Ein Kreisbogen, dessen Sehne, durch 

 den Halbmesser des Kreises gemessen, eine 

 algebraisch ausdrückbare Länge hat, kann 

 nicht durch eine geometrische Construction, 

 bei der nur algebraische Curven und Flächen 

 zur Anwendung kommen, r e c t i f i c i r t werden; 

 eben sowenig ist der zu einem solchen Bogen 

 gehörige Kreissector durch eine derartige Con- 

 struction quadrirbar. 



Hat nämlich in einem Kreise, dessen Halbmesser 

 als Längeneinheit angenommen wird, ein Bogen die 

 Länge «, seine Sehne also die Länge 2sin^ und der 



zugehörige Kreissector den Inhalt ;, «, so würde, wenn 



