334 Fiedler, Geometrische Mittheilungen. 



Für die beiden Strahlen x und x<^ , die mit der 

 Directrix Winkel von 45° einschliessen , oder aus dem 

 symmetrischen Paar der Polinvolution in der Directrix 

 erhält man insbesondere die Scheitel A, Ä^ der Brenn- 

 punktaxe und ihre Tangenten. 



Es ist von Nutzen zu zeigen, dass diese Construc- 

 tion die Definition des Kegelschnittes aus Brennpunkt 

 und Directrix einfach ausdrückt, dass also nach ihr der 

 Radius vector zum DirectrLxabstand ein constantes Ver- 

 hältniss e hat. Betrachten wir den vorher construierten 

 Punkt T und sei wie gesagt GL = p, also der Abstand 

 des Brennpunktes G von der Directrix X(^-> d) = ~ ^ so 

 folgt aus der Aehnlichkeit der Dreiecke LTL^ und XTXi 

 durch Vergleichung der parallen Grundlinien mit den Höhen 



XXr. 2p = (T, g) : (G, g) - (T, g). 

 Ist dann T^ * der Schnitt der Directrix mit TI\ , als ent- 

 sprechend zu dem Schnittpunkte der zugehörigen Tan- 

 genten T"^ in der Polinvolution, so ist Ti* offenbar die 

 Mitte von XXi und wegen der Rechtwinkligkeit des 

 Dreiecks XGX^ bei G auch T^^G gleich der Hälfte von 

 XXi ; die Vergleichung der Abstände von T und P von 

 Ti* und g liefert analog 



XXr-{G,g) - TG:{G,g) - (T, g) 

 oder 



XXr.'^=TG:{G,g)-(T,g); 



also entsteht durch Division 



TC 



e = Tf—y die fragliche Definition. 



Algebraisch für die Directrix als Axe der g und die 

 Brennpunktsaxe als Axe der x 



e*x^ ={x — ^f + i/oder x^ {e- — 1) -\-2^x = y^ + ^' 



