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§ 8.° Varie proiezioni della superficie Fj^ nfl piano — 

 trasformazioni piane razionali. 



52. Abbiamo data la rappresentazione piana della super- 

 ficie V^^ deducendone le proprietà dalla corrispondenza 

 proiettiva tra il piano rappresentativo e le forme di se- 

 conda specie che generano la superficie. Mostreremo ora 

 come la rappresentazione sul piano D-,^ possa ottenersi per 

 via di semplice proiezione da uno spazio ordinario A^, e 

 come le diverse posizioni di A3 rispetto alla superficie diano 

 luogo ad una corrispondenza razionale nel piano £1^. 



53. Sia A3 lo spazio di una cubica gobba C^ della su- 

 perficie F,/. 



Qualsivoglia spazio S4 , che passi per A3 , taglia la su- 

 perficie in un punto solo (I) e taglia pure in un sol punto 

 il piano Da- In tal modo ad ogni punto dalla superficie cor- 

 risponde un solo punto del piano; e viceversa: ad ogni 

 punto del piano corrisponde sulla superficie un solo punto, 

 eh' è quello dove la superficie è incontrata dallo spazio 

 a quattro dimensioni determinato dal punto del piano e 

 da A3 . La corrispondenza tra il piano e la superficie è 

 dunque univoca. 



Ogni spazio Sg, che contenga A3, taglia il piano H, 

 secondo una retta che sarà la proiezione della seconda 

 cubica gobba C^ situata con C^ nello spazio S5 . Dunque: 

 ogni retta del piano rappresenta una cubica gobba della su- 

 perficie. I 



Le tre rette, che si appoggiano a C^ determinano con Aj 

 tre spazi S4 che tagliano Hj in tre punti fondamentali. Le 

 rette, che passano per questi punti, sono le proiezioni delle 

 coniche, secondo le quali l;i superficie è tagliata dagli spazi 

 che contengono C^ ed una delle rette che le si appoggiano. 



