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// piano $2 ed il piano 0^ sono tra di loro in una cor- 

 rispondenza quadratica univoca. 



Infatti ad ogni retta del piano 0, corrispondono le 

 coniche che passano per i due punti tripli Xy e per uno dei 

 punti doppi Yy . E viceversa: ad ogni retta del piano <ì\ 

 corrispondono le coniche che passano per tre punti, due 

 dei quali sono i punti semplici fondamentali M^^^*'M,/^\ ec. 



Si dimostrerò pure che: il piano 02 ed il piano ITs 

 sono tra di loro in una corrispondenza cubica univoca. 



Qì. I teoremi precedenti dimostrano, che le trasforma- 

 zioni razionali dall'uno all'altro dei piani £1^, D,^'\ 0^, IT^, 

 ^^ possono ottenersi mediante successive trasformazioni 

 quadratiche. Così, ad esempio, la corrispondenza tra i pia- 

 ni (I>2 e Ha può essere stabilita dalle successive trasfor- 

 mazioni quadratiche tra i piani ((|>2 0^) , (0« O.^) , {O.^ ITj). 



Analogamente la corrispondenza tra Da e 0^ , può es- 

 sere sostituita dalle successive {Tì.iO.^) {d^Q^), Di qui il 

 teorema generale : 



La superfìcie F^^ dello spazio fondamentale Rg (e che 

 ha la proprietà di avere in ogni suo punto uno spazio tan- 

 gente che la taglia secondo tre coniche) dà luogo a diverse 

 proiezioni piane, secondo che lo spazio ordinario dal quale 

 essa viene proiettata, è determinato danna sua cubica gob- 

 ba, da una conica ed un punto, o da una retta e due 

 punti, da un suo piano tangente ed un punto. Le varie 

 proiezioni sono tra loro in una corrispondenza razionale ; 

 e due qualunque di esse possono essere, per mezzo di una 

 più altre, legate tra loro da successive trasformazioni 

 quadratiche (noto teorema di Cremona sulle trasforma- 

 zioni razionali). 



G2. Codeste trasformazioni piane, ottenute per via dì pro- 

 iezione da una medesima superficie, possono dare luogo ad 



