— 1564 ~ 

 Sia C"~'" \i\ curva data. Supponiamo di saper risolve- 

 re il problema quando in luogo di r si pone r-f- I ; allora 

 potremo costruire una curva C," , rispetto alla quale la 

 {r-h\)-esiìna polare di coincida colla curva C"~^~\ 

 che è la prima polare di rispetto a C"""'" . La r. esima 

 polare di rispetto a C/' sarà una curva Ci"~'\ la 

 quale incontrerà G"~' in {n — ry- punti distribuiti su 

 11 — r rette passanti per 0, Queste n — r rette taglia- 

 no C/' in n{n — r) punti, per i quali certamente passa 

 una curva d'ordine n C^" ; le r. esime polari di ri- 

 spetto alle curve del fascio (C/^ C2") costituiscono un fa- 

 scio, che ha per base quei (n — r)^ punti di C"~' . Poi- 

 ché C"~'" è una curva di quest' ultimo fascio, vi sarù nel 

 fascio (C," , C^") una curva, rispetto alla quale il punto 

 avrà per r. esima polare C"~'" . 



3. Per le ricerche seguenti studiamo alcuni casi parti- 

 colari del teorema, secondo il quale due curve fondamentali 

 dell' involuzione si tagliano in n^ punti distribuiti su n 

 rette passanti per . 



Se nel punto A^ coincidono r intersezioni di due 

 curve fondamentali, in ciascuno degli n — I punti della 

 retta OA^ , che sono coniugali ad A,, si trovano r inter- 

 sezioni delle due curve, e la retta OA^ conta per r fra le 

 rette passanti per , che contengono tutte le intersezioni 

 delle curve stesse. Da ciò segue: 



Se due curve fondamentali hanno un conlalto d' ordine 

 r in un punto Aj , e OA^ non è tangente alle curve in 

 Al , le curve stesse hanno altri n — I contatti d'ordine r 

 in punti di OA, . 



Ora supponiamo che le due curve fondamentali C," , 

 C,/ passino per Aj , e la prima curva abbia per tangente 

 in questo punto la retta OA, ; alloi-a A, appartiene alla 

 curva direttrice dell' involuzione, e quindi in generale an- 



