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5. L' ultimo teorema ci permette di dimostrare ii se- 

 guente : 



Le curve fondamentali d'ordine mn dell'involuzione 

 (0 , C"), formano un sistema lineare di specie 



/n(m+l) . \ 



in altre parole, se indichiamo per brevitù questo numero 

 con N(ni) , per N(m) punti del piano passa in generale 

 una curva d'ordine mn fondamentale nell'involuzione (0, 

 C")^ , ed lina sola. 



Supponiamo che il teorema valga quando in luogo di 

 m si scrive m — \ (e il teorema vale elfettivamente per 

 m == I) : allora si potranno costruire N{m — i) -l- 1 cur- 

 ve indipendenti (') d'ordine (m — i)n fondamentali nell' in- 

 voluzione (0, C'^)^ . Poi per un teorema dimostrato, presi 

 nìn-\-\ fra gli N{m) punti dati, potremo per essi condur- 

 re N(m — ^)4-i curve d'ordine «m , rispetto alle quali la 

 prima polare di si componga di una delle curve prece- 

 denti d' ordine (m — \)n e della curva direttrice a"~^ 

 dell'involuzione. Le N(r?z~4)+1 curve d'ordine mn sono 

 indipendenti fra loro, e quindi nel sistema lineare da esse 

 determinato vi è una curva d'ordine mn , che passa per 

 altri N(m — ì) dei punti dati. Questa curva passa per tutti 

 i punii dati, perchè 



mn + I + N(?.i — I) ~ N(m) , 



ed è fondamentale nell'involuzione (0 , G"), in virtù dei 

 teoremi precedenti: essa adunque risolve il problema ed è 

 r unica curva che gode di questa proprietà C^). 



(1) Tali cioè che una qualunque di esse non appartenga al 

 sistema lineare delerniinato dalle rimanenti. 



(2) Le considerazioni fatte provano soltanto che il numero delle 

 curve, che risolvono il problema, è lìnito j ma se ve ne l'ossero 



