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Poi che tra la congruenza data e il sistema delle sue traiet- 

 torie ortogonali esiste corrispondenza univoca, potremo assumere 

 (come è noto per le congruenze normali), quale sistema coordinato 

 dell'uno, quello dell' altra ; e potremo definire analogamente, tra 

 le linee di questo sistenia di traiettorie^ che io chiamo complesso 

 ortogonale^ o semplicemente, quando non ne venga ambiguità; com- 

 plesso^ delle linee asintotiche e delle linee di curvatura, ed esten- 

 dervi i concetti di curvatura, noti nel caso delle congruenze 

 normali. 



Questo modo di aggruppare le congruenze, ci dà alcune ele- 

 ganti interpretazioni geometriche di quegli invarianti a tre indici 

 [ihnòì ^^ cui il Ricci ha dato delle interpretazioni cinematiche. 



Il Y-wj?; {p=^ 1 2) (^) rappresenta la curvatura della ])roie- 

 zione della ^^ , sul piano tangente al complesso X ; ossia la cìirva- 

 tura tangenziale della X^^ sul complesso. 



Il — "^zpp 1 è la curvatura della proiezione della X^j , sul piano 

 ad essa tangente e normale al complesso 1 , cioè la curvatura nor- 

 male. 



Possiamo così leggere nella 



che " La somma delle curvature normali di due congruenze or- 

 togonali sopra un complesso, è costante intorno ad un punto. „ 



Chiamando poi geodetiche di un complesso quelle congruenze 

 del complesso, per cui è nulla identicamente la variazione prima 

 dell'integrale 



t, 1/ dt di 



(dove .S;j è l'arco della 1/, appartenente al complesso X) abbiamo 

 che " Sono geodetiche di un complesso quelle linee, la cui cur- 

 vatura tangenziale è nulla. „ 

 Considerando l'invariante 



(1) Qui e in seguito, diamo le espi'essioni relative al complesso X ; 

 quelle relative a Xj e X^ si ottengono da queste, ponendo X = X;, , ed ese- 

 guendo una conveniente rotazione degli indici. 



