248 A. dall' acqua (4) 



Dalla considerazione delle 



da 



e 



abbiamo, che " La somma dei quadrati delle curvature tangenziali 

 di due cong'ruenze ortogonali di un complesso, è costante intorno 

 ad un punto, per le congruenze di un medesimo fascio „ ; e da 

 questo : " Tutte le congruenze di un fascio sono geodetiche del 

 complesso, se tali sono due qualunque ortogonali di esse. „ 



Ma più d' ogni altra cosa fecondi, e per gli interessanti raf- 

 fronti colla teoria delle superfici, e per le importanti verità nuove 

 e interpretazioni di espressioni e formole note, sono i concetti di 

 linee di curvatura e di linee asintotiche sui complessi. 



Anzitutto diremo (issoriafo ad una "Xj , quella congruenza la 

 cui tangente coincide in ogni punto coU'intersezione dei piani tan- 

 genti al complesso in quel punto, e in uno vicinissimo della )^t 

 stessa. Diremo poi asintotica ogni congruenza, associata a se stessa. 

 E necessario notare però, che non v' ha reciprocità nelF associa- 

 zione, se non nel caso che sia la X normale ; le linee associate 

 sono allora le coniugate delle superfici ortogonali a y. . 



Chiamiamo ìinee di curratuni quelle, le cui normali (normali 

 al complesso) s'incontrano. Le curvature normali delle linee di 

 curvatura si diranno cun'/ttiire principali e carraturfr media 



H =: - Y (Tsii + T..2) = - Y ^r. ^'<"' \s 



la loro semisomma, e il loro prodotto cin-ratura totale 



1 



K = Y311 T322 — T312 T:^21 = ^ ^r. ^''"*' '^rs 



dove r/A<' '*' è il complemento algebrico delF elemento X^, nel de- 

 terminante ("Xii Xoo >^33) (0 • 



Abbiamo intanto, che " Fra gli infiniti complessi cui una con- 



(1) Facciamo notare che le espressioni di A, li e K sono indipen- 

 denti dalla scelta delle Xj , X., . 



