(5) EICEECHE SULLE CONGRUENZE DI CURVE ECC. 249 



griienza appartiene, se essa è di linee di curvatura per uno, è 

 tale anche per quello ortogonale ad esso „ (0- 



Nel caso che una li risulti di linee di curvatura per i com- 

 plessi 1.2 > "^ ì abbiamo 



Al =:A2 + A3 



e ne deduciamo una importante generalizzazione di un teorema 

 del Dupin, completato dal Darboux (Darboux, Lecons sur la fhéorie 

 generale des surfaces, voi. Il, p. 263) : " Se due complessi si ta- 

 gliano ortogonalmente, ed hanno una stessa congruenza di linee 

 di curvatura, la anormalità di questa è uguale alla somma delle 

 anormalità dei complessi dati. „ 



Relativamente alle linee asintotiche, abbiamo che " La loro 

 curvatura normale è nulla. „ Esse hanno per bisettrici le linee 

 ortogonali canoniche. Ricercando l'angolo a che formano tra loro 

 le asintotiche abbiamo 



A2 — K 



te:2 a = 



H^ 



e ne ricaviamo, che " Le asintotiche di un complesso sono reali 

 distinte, reali coincidenti o imaginarie, secondo che il quadrato 

 della anormalità, è maggiore, uguale o minore, della curvatura 

 totale. „ Agli estremi deirarco della \ , lungo cui esse sono reali, 

 daremo il nome (come per le congruenze rettilinee) di punti limiti : 

 e alle superfici da essi generate di super/lei limiti. Le loro equa- 

 zioni sono 



A d: |/k"= 



Nei punti limiti le asintotiche sono coincidenti, e tangenti alla 

 linea di una delle congruenze ortogonali canoniche. Possiamo quindi 

 osservare che spostandoci dall'uno all'altro dei punti limiti, le linee 

 asintotiche si staccano dalle linee d'una delle congruenze orto- 

 gonali canoniche, per avvicinarsi e sovrapporsi lungo una linea 

 dell' altra, allontanandosi così fra loro di un angolo eguale e ti . 



(1) A questo teorema possiamo dare la forma : " Se per una curva 

 si fa passare una rigata, avente le generatrici normali alla curva, essa 

 sarà no sviluppabile, insieme colla rigata ortogonale, e similmente ge- 

 nerata. „ 



