(3) INTEGRAZIONE DELL' EQUAZIONE A-A^ = ECC. 499 



si può scrivere : 



Prn i-r , // , 2) = r'« X„ (cp , 6) , 



la funzione X,,,(?, 6) si elice funzione sferica d'ordine m , e si ha {^) 



V 



s=0 



(1) X,„ (9 , 6) = 2j ^^'^ ^°^ ^ '^ + '^« ^®" ''' '^^ ^'' 



ove le a e le [i sono 2w-|-l costanti arbitrarie ed U^^, è la fun- 

 zione data dalla formola : 



U,„, -- sen' (cos"'-^' 6 -f K% cos^"-^-^' -f . . .) , 



ove le costanti K^ sono date dall'equazione : 



, (:m — s) (m — s — 1) . . . {m — s — 2k -f 1) 

 K 2H = (~ 1)' 2^^ • A; ! (2w —1) (2m — 3) . . . (2m — 2A- + 1) ' 



il 1° indice w di U„,, indica il grado complessivo di U,,,^ in sen 

 e cos 9 ed il 2° indice s indica l'esponente di sen 9 in U,,^, . 

 Ciò posto consideriamo la funzione : 



»7=oo ;i=m. 



jn=0 n=0 



(2) A'-, ?, f^)=X S ]\^>nnr'''+;~^^^^^^^^^^ 



ove le a , a' , [i , [:i' sono costanti a determinarsi ; è facile vedere 

 che è armonica ; inoltre se si vuole che sulle superfìcie sferiche 

 a , ai assuma le successioni date di valori : 



m:=oo »=w 



F(? . ^) = ^ X ((fmn COS )ì'^ -f ò,,,, sen ;//^) U,«„ (2) 



m=0 «=0 



Fi(? , 9) = V y (r/^^^^, cos HO + //,,,, sen ;/ p) Lr,„ , 



m=0 M=0 



(1) Frischavif, Vorìeiotngeji Ubar Krcis-itnil Ktujf'l-FìOìiiìonenreìhen^ 

 (Teubner, Leipzig ; a. 1897). 



(2) Lo svihippo (li una funziono F (r , fi) in scn-ic di funzioni sfericlie 

 è pvecisamentf ([U'-sto, ovo b_' a e le ìt sono costanti. CtV. Friscliauf, l^or- 

 lesungen^ ecc. 



