504 T. BOGGIO (8) 



2rn-\-3 

 X -' > 1 , 



che è evidentemente vera, poiché .r "> 1 . 



Quindi per m = , ì ,2 . . . . non esiste nessun valore di — - 



R 

 che verifichi la ;8) ; perciò si conclude che dalle (7) si possono 

 ricavare a,,j„ , a^^^ ; quindi dalle (6) si ricavano poi a'j„„ , ed 

 a^^^ . In tal guisa son calcolate le costanti che compariscono nel 

 2° membro della formola (4) la quale quindi dà l'espressione ge- 

 nerale delle funzioni O che soddisfano alle condizioni del problema. 



3. Essendo risolto il problema per lo strato sferico, si può dire, 

 in virtù di un teorema del prof. Levi-Civita (i) esteso dal prof. 

 Volterra (-), che il problema è pure risolto per lo spazio 8 limitato 

 da due superficie sferiche a , a^ che non si tagliano (cioè per lo 

 spazio compreso fra esse od esterno ad entrambe). 



Infatti se , Oi sono i centri delle due superficie sferiche 

 a , Gì ; A , B , Ai , B) le loro intersezioni colla retta OOi , le coppie 

 AB , ed A] Bi non si separano perchè a , a^ non hanno punti co- 

 muni, quindi vi è una coppia reale P , Pi di punti che separa 

 armonicamente la coppia AB e la coppia Ai Bi ; e tale coppia PPi 

 cade fuori di S . Ciò posto prendendo ad es. P come centro di una 

 inversione (per raggi vettori reciproci) le superficie sferiche a , Cj 

 si trasformano in due altre a' , a'i che, come è facile vedere, sono 

 concentriche, e lo spazio S compreso tra a , a^ si muta nello strato 

 sferico S' compreso tra o^ , o\ . 



Presa l'origine delle coordinate in P le formole di inversione 

 (supposto eguale ad 1 il modulo) sono : 



X ij z 



da cui 



(1) Levi-Civita, Sopra ima trasfoniinzìone in se stessa dell' equazio- 

 ne A A == 0. — (Atti del R. Istituto Veneto di scienze, lettere ed arti ; 



2 2 



tomo IX, serie VII, a. 1898). 



(2) Yohovra, S/flfc f/fi>:ioiii pttJianiionir/tr. — lAlfi del R. Istituto Ve- 

 neto, ecc.; toiriu LVIl, a. 181)i)). 



