(9) INTEGRAZIONE DELL' EQUAZIONE A-'A^ = ECC. 505 



(1') - dx'-^ + d,/-^ + dz'-^ = '-^ ; 



e se la funzione O (.r , ^ , 2^) è biarmonica, anche la funzione : 



ix' if z' \ 

 (2) 4>'(y,y',/) = /4.(^,;-, -) 



è biarmonica (rispetto alle variabili ,/ , \j , z^ . Quindi se si vuole 

 determinare la funzione O, biarmonica in S e tale che sui con- 

 torni a , 01 sia : 



converrà eseguire la trasformazione (1) , (2) ; in tal modo ci si tro- 

 verà ricondotti al problema trattato nel n. precedente, giacche la 

 funzione ^' [x ^ y\ z'^ data dalla (2) sarà regolare nello spazio S' 

 trasformato di S (e che è uno strato sferico come si dimostrò) e, 

 come si disse prima, sarà pure biarmonica. 



Sulle saperficie sferiche concentriche a', q\ che limitano S' 

 si avrà poi : 



O' — r' 9 , 

 e dalla (!') : 



dn = /2 dìi , 

 onde: 



ao' a(/a)) a/ '^ 



a>^' dn c)n r 



che danno appunto i valori di ^V e della sua derivata normale ai 

 contorni a', <i\ dello strato sferico S' . La determinazione di O' si 

 fa col metodo esposto nel n. precedente ; la (2) ripassando alle va- 

 riabili X , 1/ , z dà poi subito il valore della funzione O . 



Con un procedimento analogo si può risolvere il problema 

 corrispondente per le funzioni poliarmoniche di un ordine n qua- 

 lunque ; basta perciò partire da una formola analoga alla (4), ma 

 di un tipo più generale. 



