506 T. BOGGIO (10) 



4. Il prof. Y. Volterra nella Nota citata ha dimostrato che 



se si ha una funzione in-armonica u di n variabili Xi , x^ , ... , x„j 

 e si fa V inversione per raggi vettori reciproci 



Xi I n 



{a) x\ =- , \)-^ = 2^- x^ ; ? = 1 , 2 , . . . , w 



u 

 la funzione u' r= ^„^_^ sarà ancora n\-armonica rispetto alle va- 

 riabili x\ , ^^"'2 , • . . , Jc'n • 



Ora dimostreremo un teorema che, in un certo senso, è Tin- 

 yerso del precedente. 



Cerchiamo perciò la più generale trasformazione : 



(a) x\ = x\ (.Ti , xo, . . . , x„) , (?• = 1 , 2 , . . . , w) 



U (./' 1 , X 2 1 • • • 1 'f n) =^ ^ V-'l •> ^2 1 • ■ ■ ■) •^n) U {Xi , X-2 ., • ■ • i ^n) 



che muta un integrale n, dell'equazione A^'" = in un integrale 



n 32 

 li deir equazione corrispondente A'^'" = , ove A-' =-- ^S,- - — ; , 



n d- 

 A''- ::= ^,. - — - . Dimostreremo che le (a) si riducono alle ia) e che 



1 s*-»^ ^ 



1 



Poniamo perciò : 



n 9 x^ 9 ,r. 



e SI avrà : 



e in generale : 



n 92 II 



A'-' II' = ^ a — - — 4- [IJ , 

 1 ""ri -".s-i 



l'I "2*2 ,vj ' ili 



ove, per brevità, si è indicato con \2m — 1| il complesso deiter 

 che contengono derivate di n' di 

 Poiché si ha u' =^ \u , ne risulta 



mini che contengono derivate di n' di ordine minore di 2ììì 



9"" u' 9^'" u 



9.r e?, 

 ri "^ Si • • • ' r ■' s 



c'Xy. c'Xf,_ . . . c',r^. c'x CX^_ ex,. . . . ex,, ex 



