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GEOMETRIA PIANA N. 232. 



la prima serve a determinare le quantità (reali) q r , 

 poscia la seconda dà la direzione della retta MW ; se 

 ommettendo nella terza il termine ±p^ il primo mem- 

 bro sia parallelo al secondo, ciò significa che la curva 

 ha il contatto di 4.° ordine con una parabola ; se al con- 

 trario occorra anche il termine =t3^* col segno supe- 

 riore od inferiore si ha un' ellisse od un'iperbola oscula- 

 trice: il punto dato dalla seconda equipollenza è il cen- 

 tro di questa osculatrice, e la WT della quarta equi- 

 pollenza è il semidiametro conjugato a WM. 

 In particolare se la curva sia data da 



OMt^^Je'd^ 



cioè sia t V inclinazione della tangente nel punto 

 estremo dell' arco di lunghezza s ; sarà 



d'Mt^e'(d*;?+/'d5) , d^Mt£^e'(d'^+2/d^^— d^) 

 d*Mt£:^£'(dV-i-3>rdV— -3d^5~>rd5) 



d5 



Così nella sviluppante del circolo in cui ds:=it si ha 



2 

 qm — ^, ed il centro W dell'ellisse osculatrice ò 



dato da 



(i+±)mW^(1+^/)s' . 



Nella cicloide d^^cos^ , d'5— — scn^ , d^^= — cos^ , 

 ^— gtanzf , ±p'^n2~\-Aaiì.H , e la curvatura sarà ancora 

 sempre ellittica. 



